הרחבת דופלר

בפיזיקה אטומית, הרחבת דופלר היא הרחבה ספקטרלית הנובעת מהסטת דופלר הנגרמת על ידי התפלגות המהירויות. האפקט המצטבר של הסטות תדר שונות כתוצאה ממהירויות שונות של החלקיקים הפולטים (או בולעים) גורם להתרחבות קווי הפליטה (או בליעה) הספקטרלים. פרופיל הפליטה הנוצר נקרא פרופיל דופלר.

סוג אחד מעניין במיוחד של הרחבת דופלר, הוא הרחבת דופלר תרמית הנגרמת מתנועה תרמית של החלקיקים. במקרה כזה מידת ההרחבה תלויה רק בתדירות הקו הספקטראלי, מסת החלקיקים והטמפרטורה שלהם ולכן ניתן להשתמש בה כדי להעריך את הטמפרטורה של גוף פולט.

ניתן להשתמש בספקטרוסקופיה נטולת-דופלר הידועה גם כספקטרוסקופיית רוויה על מנת למזער אפקט זה ולבצע מדידות מדויקות של תדירויות מעבר אטומיות ללא קירור המערכת לטמפרטורות בהן אפקט זה יהיה זניח.

פיתוח הרחבת דופלר

כאשר תנועה תרמית גורמת לתנועת החלקיק לקראת הצופה, התדירות אותה הוא ימדוד תהיה גדולה מהתדירות הנפלטת. ואילו כאשר החלקיק ינוע בכיוון ההפוך, התדירות הנמדדת תהיה מוסטת למטה. עבור מהירויות קטנות ממש ממהירות האור ($v\ll c$), הסטה בתדירות הנמדדת תהיה

$\Delta f={\frac {v}{c}}f$

כאשר $f$ היא התדירות במנוחה (המתאימה למעבר האנרגיה), $v$ מהירות החלקיק, $c$ מהירות האור. מכיוון שיש חלקיקים בכל תחום מהירויות (גם לכיוון הצופה וגם ממנו), במקום למדוד את תדירות הפליטה במנוחה, תתקבל התפלגות סביבה. מכאן שהמהירות המתאימה להסטת התדר של $\Delta f$ היא

$v_{f}={\frac {c}{f}}\Delta f$

אם $P_{v}\left(v\right)dv$ היא החלק של החלקיקים בתחום המהירויות $\left(v,v+dv\right)$ (בכיוון הצופה או ממנו), התפלגות התדירויות המתאימה תהיה

$P_{f}\left(f\right)df=P_{v}\left(v_{f}\right){\frac {dv}{df}}df=P_{v}\left({\frac {c}{f}}\Delta f\right){\frac {c}{f}}df$

ניתן גם לרשום את ההתרחבות עבור אורך הגל $\lambda$, על ידי שימוש בכך שעבור מהירויות לא יחסותיות ($v\ll c$) מתקיים $\Delta \lambda /\lambda \approx \Delta f/f$ ולכן

$P_{\lambda }\left(\lambda \right)=P_{v}\left({\frac {c}{\lambda }}\Delta \lambda \right){\frac {c}{\lambda }}d\lambda$

הרחבת דופלר תרמית

במקרה זה המהירויות מתפלגות לפי התפלגות מקסוול בולצמן

$P_{v}\left(v\right)dv={\sqrt {\frac {m}{2\pi \tau }}}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2\tau }}\right)dv$

כאן $m$ מסת החלקיקים הפולטים, ו$\tau =K_{B}T$ כאשר $T$ הטמפרטורה ו$K_{B}$ קבוע בולצמן. מכאן ש

$P_{f}\left(f\right)df={\sqrt {\frac {mc^{2}}{2\pi \tau f_{0}^{2}}}}\exp \left(-{\frac {\Delta f^{2}}{2\tau f^{2}/mc^{2}}}\right)df$

ובאופן דומה עבור אורך הגל,

$P_{\lambda }\left(\lambda \right)d\lambda ={\sqrt {\frac {mc^{2}}{2\pi \tau \lambda _{0}^{2}}}}\exp \left(-{\frac {\Delta \lambda ^{2}}{2\tau \lambda ^{2}/mc^{2}}}\right)d\lambda$

כך שההתפלגויות נורמליות (פרופיל גאוסייני) עם סטיות תקן של

$\sigma _{f}={\sqrt {\frac {\tau }{mc^{2}}}}f$

$\sigma _{\lambda }={\sqrt {\frac {\tau }{mc^{2}}}}\lambda$

ורוחב חצי מקסימום של

$\Delta f_{\text{FWHM}}={\sqrt {\frac {\tau 8\ln 2}{mc^{2}}}}f$

$\Delta \lambda _{\text{FWHM}}={\sqrt {\frac {\tau 8\ln 2}{mc^{2}}}}\lambda$

שימושים וסייגים

הרחבת דופלר תרמית היא אחד ההסברים להתרחבות הפסים הספקטרלים באסטרונומיה ופיזיקת פלאזמה ומהווה אינדיקציה לטמפרטורת החומר. אך קיימות סיבות נוספות להתפלגות מהירויות כגון זרימה טורבולנטית. במקרה כזה עלול להיות קשה מאוד להבדיל בין התרומות הטורבולנטית והתרמית להרחבת הפסים. סיבה אפשרית נוספת היא טווח מהירויות מקרוסקופיות גדול לדוגמה כתוצאה מחלקים מתקרבים ומתרחקים של דיסקת ספיחה המסתובבת במהירות. ובנוסף לאלא יכולות להיות סיבות רבות נוספות להרחבת הפסים, לדוגמה עבור צפיפות גבוהה עלולה לגרום לפיצול סטארק משמעותי.

ראו גם

• אפקט מסבאואר
• Dicke effect (אנגלית)
• ספקטוסקופיית רוויה